19世纪物理学的第二朵乌云

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北京时间9月29日，中超新一轮联赛已经全部战罢，各队最新的排名情况也已知晓，从争冠以及保级的情况来看，大致没有太大变化，也就是说，本赛季的中超局势可能会到最后一刻才会揭晓答案。下面，我们通过各场比赛....

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10.1

知识分子

The Intellectual

图源：Pixabay

撰文｜施郁

1.开尔文的演讲

谈到20世纪初的物理学革命，大家都喜欢从两朵乌云讲起。这个说法来自开勋爵（Lord Kelvin）的演讲。

开尔文勋爵就是威廉•汤姆孙（William Tho on）。1900年4月27日晚，他在皇家研究院（Royal Institution）做了周五晚间演讲,题目是“19热和光的动力学理论的两朵乌云（Nineteenth Cent y Clouds over the Dynamical Theory of He and Light）”[1]。

几个月后，开尔文将演讲内容整理成了一篇文章[2]。由此我们了解到演讲的内容。

开尔文勋爵演讲中的 朵乌云是“以太与可测（ponderable）物体之间的相对运动”。后来，1905年，爱因斯坦的狭义相对论驱散了这朵乌云。

2.黑体辐射

第二朵乌云是什么？有一个广为流传的说法，说是黑体辐射的紫外灾难。辐射是指电磁波，也就是光；黑体是指对电磁波没有反射，只有吸收和发射的物体，所以它的辐射规律是最理想的；紫外的意思是，频率相对于温度来说很大；紫外灾难是说，瑞利-金斯定律不能描写黑体辐射的紫外区。

作为这个说法的一个最近的例子，2023年11月，一位得过诺贝尔奖的法国物理学家在上海的演讲中就是这么说的。他的演讲是他的一本科普著作的简化版。在这本科普著作中，先说到第二朵乌云是关于热力学平衡系统中不同自由度的能量分配，但是将此解读为黑体辐射的紫外灾难。

“黑体辐射说”的时间线就有问题。开尔文的演讲是在1900年4月。在此之后，勋爵的关于黑体辐射的文章发表于6月[3]。所以开尔文演讲时，还不存在“瑞利-金斯定律”和紫外灾难。

而且，瑞利定律发表几个月后，Hein ch Rubens和Ferdinand K lbaum发表新的实验数据，用维恩定律和几个月前发表的瑞利定律做了比较[4]。他们的同事普朗克便立即发表了他的黑体辐射定律[5]。知道维恩定律，这个定律那时候也被称为维恩-普朗克定律，因为维恩从实验总结了这个定律，普朗克给出理论推导。有了普朗克定律后，人们就知道维恩定律是它在高频（紫外）区的近似，瑞利定律是它在低频（红外）区的近似。但是当时普朗克没有提瑞利定律。普朗克当时是通过热力学讨论得到这个定律，在科学院的报告是”对维恩定律的改进“，然后又花几个月从理论上推导普朗克定律。现在有的教科书上说普朗克是通过内插法，从两个极限下的维恩定律和瑞利定律，得到普朗克定律。这不是真实的历史。所以,所谓“紫外灾难”并没有主导过黑体辐射研究领域。

当时的瑞利定律里的公式没有系数，系数的确定还要等5年。1905年5月，瑞利回到他1900年6月的公式，计算里面的系数，但是算错了。金斯（James Ho ood Jeans）发现，瑞利的系数需要乘以8，1个月后发表也发表了一篇文章。所以这个定律也叫“瑞利-金斯定律”[3]。

1905年3月，已经完成了光量子理论，6月9日发表。在这篇文章里，爱因斯坦写下能量均分定理导致的结果，包括正确的系数。这是在金斯之前。所以“瑞利-金斯定律”也可以叫“瑞利-爱因斯坦-金斯定律”[3]。

总之，开尔文的演讲中，不可能讨论在他的演讲2个月后才首次出现的“瑞利定律”或者5年后才有的“瑞利金斯定律”导致的紫外灾难。

教科书和科普书上不乏一些以讹传讹的历史。

3.第二朵乌云究竟是什么？

开尔文的原文是：

“动力学理论将热和光阐明为运动模式，这个美和清爽现在被两朵乌云遮掩了。I. 朵乌云来自菲涅尔和托马斯•杨的光的波动理论；涉及地球如何在发光的以太这样的弹性固体里运动？II. 第二朵是关于能量分配的麦克斯韦-玻尔兹曼原则。“

然后他以“乌云1.—以太与可测物体之间的相对运动”作为章节标题论述了 朵乌云。

“关于能量分配的麦克斯韦-玻尔兹曼原则”就是我们现在所说的能量均分定理。是说，在分子组成的系统中，每个自由度的平均动能都是kT/2, 即玻尔兹曼常数k乘以温度T除以2。

开尔文的演讲里完全没有提黑体辐射。不过，6个月后，关于黑体辐射的瑞利定律（1900年6月）确实是用能量均分定理推导出来的。

对于第二朵乌云，开尔文首先讨论了能量均分定理的历史，以及它在气体比热上的应用[2]。开尔文指出，对于某些特殊情形，这个定理最初是1847年John James W erston在给皇家学会的通信中指出，但是这通信到1892年才由瑞利发掘出来发表。1859年麦克斯韦也 提出这个定理。玻尔兹曼1868年和麦克斯韦1878年又相继将此定理推广到更一般的情形。

开尔文还讨论了这个定理在气体的分子运动论上的应用,特别是关于气体的比热。他具体关注了等压比热与等温比热的比值。我们知道，能量均分定理可以直接给出分子气体的比热。问题在于，比热的理论结果比低温下的实验结果大，也就是说，等压比热与等温比热的比值的实验数值普遍大于理论数值。

面对实验结果与能量均分定理的偏差，开尔文在经典物理范畴内，讨论了分子的种种运动情况。

最后，他指出，麦克斯韦、玻尔兹曼和瑞利都知道气体分子运动论与实验的偏差，并认为这是根本性困难。1875年，麦克斯韦说过这是分子理论的最大困难。玻尔兹曼猜测，比热反常是由于气体与以太的耦合。瑞利认为这个问题并不是由于原子转动或相对运动，即使原子是点粒子，问题仍然存在，是基本的。

而开尔文认为，最简单的出路是放弃能量均分定理。后来的量子论表明确实如此。

4.固体比热

开尔文所讨论的是气体比热，现在我们补充一下固体比热的情况[3]。

1819年，杜隆（Pierre Louis Dulong）和珀替(Alexis Thérès Petit)发现室温下固体比热是一个常数，约6克每摩尔度。1840年，人们观察到金刚石在室温下的比热 ，小于2克每摩尔度。1872年，韦伯（Hein ch F ed ch Weber）指出，比热依赖于温度，高温时达到杜隆—珀替值。德瓦也有此结论。

1876年，玻尔兹曼注意到谐振子的平均动能与平均势能相等，因此根据能量均定理，每摩尔气体平均能量是3RT，由此得到比热等于杜隆—珀替值。玻尔兹曼指出，这与实验一致，但是除了碳等少数例外。

因此，比热的这个经典物理结果有30年的寿命，而且从一诞生就知道有问题。无怪乎开尔文将它作为一朵乌云。相比之下，在黑体辐射的情况，从瑞利的公式到普朗克公式只有几个月寿命。

1907年，爱因斯坦将量子论用到固体比热问题，认为组成固体的原子的振动能量也像电磁场那样量子化。爱因斯坦得到依赖于温度的比热公式，当温度较高时，给出杜隆—珀替值。而且预言，当温度趋向于0时，比热也趋向于0。

后来能斯特（Walter Nernst）发现，爱因斯坦的比热公式定量上不对，并将此归因于爱因斯坦用单一频率描写晶格振动。1912年德拜（Peter Debye）以及玻恩（Max Born）和冯•卡门(Theodore von Kármán,中文固体物理书上大多翻译为卡曼)相继改进了理论。

量子论推翻能量均分定理开始于开尔文没有提到的黑体辐射，然后是固体比热问题。这都与开尔文的第二朵乌云有关系。

至于量子气体，我们知道，由于原子或分子运动范围大，作为全同粒子，它们之间的交换效应大，所以要等到量子统计提出后，才能做出正确的理论计算。1924年爱因斯坦在玻色的工作基础上，提出玻色-爱因斯坦统计。1926年费米和狄拉克分别提出费米-狄拉克统计。

可见，爱因斯坦不仅驱散了开尔文的 朵乌云，还对第二朵乌云的驱散贡献良多。

[1] J．Mehra and H. Rechenberg, The Histo cal Develo ent of Quantum Theory, Vol. 1, Part 1, Sp nger-Verlap, 1982.

[2] Lord Kelvin, Nineteenth Cent y Clouds over the Dynamical Theory of He and Light, Phil. Mag. 2(6),1-40 (1901).

[3] Pais, Su le is the Lord, Oxford University Press, 1982.

[4] H. Rubens and F. K lbaum, Sitzung e chte, Preussische Akademie der Wissenschaften 1900, p. 929.

[5] M.Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 2, 202 (1900).